Neppe analyse

Neppe analyse (Engels: fake analysis) is de tegenhanger van reële analyse. Dit vakgebied gaat over wiskundige objecten die voldoen aan een aantal eisen die elkaar tegenspreken. Deze objecten hebben positieve en negatieve aspecten. Aan de ene kant kunnen ze überhaupt niet bestaan, maar aan de andere kant hebben ze wel veel leuke eigenschappen.

Bewijstechnieken

Cirkelredenering: We kunnen bewijzen dat de cirkelredenering een valide bewijstechniek is met behulp van de cirkelredenering. Q.E.D.
Intimidatie: Als je er problemen mee hebt dat dit een valide bewijsmethode is zie ik je graag om 15:00 achter het fietsenhok. Q.E.D.
Oneindige gevalsonderscheiding: Als je een uitspraak $I$ met oneindig veel gevallen $i$ probeert te bewijzen en $\varphi _{i}$ bewijst $i$ . Dan geeft $\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}$ het bewijs van $I$ . Stel bijvoorbeeld dat uitspraak $I$ te bewijzen is met een tekening $\varphi _{i}$ van een eindige graaf $i$ , dan bewijzen de tekeningen $\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}$ dat $I$ geldt voor elke einidige graaf. Q.E.D.
$\epsilon$ -bewijs: Neem willekeurige $\epsilon$ , bijvoorbeeld ${\frac {1}{10}}$ . Als een uitspraak geldt voor $\epsilon ={\frac {1}{10}}$ , dan geldt het voor elke omdat we $\epsilon$ willekeurig hebben gekozen. Q.E.D.
"Left as an exercise for the reader": Het bewijs dat dit een valide bewijstechniek is geven we als opdracht aan de lezer.

Voorbeelden

Rij convergentie

Bekijk een rij getallen die voldoet aan de volgende twee voorwaarden:

De rij convergeert naar 0
Elk getal in de rij is gelijk aan 1

Als je zo'n rij gevonden hebt, kan je de definitie van een convergente rij gebruiken om te zien dat ${\textstyle \epsilon >1}$ voor elke $\epsilon$ . In het bijzonder geldt bijvoorbeeld $0.5>1$ , en door beide kanten van de vergelijking te vermenigvuldigen met 2 volgt hieruit dat $1>2$ .

Dit is een typisch geval van een resultaat wat met neppe analyse veel makkelijker te bewijzen is dan met andere technieken.

1 keer 1 is 2

Bekende wiskundige Terrence Howard heeft bewezen dat $1\times 1=2$ . Dit legt hij uit in een boek van 162 pagina's^[1]. Hij heeft meerdere bewijzen voor dit feit:

Bewijzen

4/2

Zijn eerste bewijs gaat als volgt:

Als $4/2$ het omgekeerde is van $2\times 2=4$
Dan volgt hier natuurlijk uit dat $1\times 1=2$ het omgekeerde is van $2/1$ , □

Dit is natuurlijk mogelijk in de neppe analyse.

A keer B is C

Stel je hebt de vergelijking $a\times b=c$ dan, volgens traditionele wiskunde, volgt hieruit dat:

$1\times 1=1$

Maar dit kan nooit kloppen in de originele vergelijking want dit zou betekenen dat of $a$ of $b$ geen waarde zou hebben. $a$ en $b$ hebben beide een waarde van 1 oftewel $1\times 1=2$ □